Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (2024)

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben mit Exponentialgleichungen und e-Funktionen.

1. a) Löse die Gleichung!

Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (1)

Wir formen die Gleichung zunächst so um, dass auf beiden Seiten möglichst einfache Ausdrücke stehen. Dann logarithmieren wir unter Anwendung der bekannten Logarithmengesetze.
Hier kannst du nochmal alles zuLogarithmennachlesen.
Und hier die Playlist aller Videos dazu:📽️ Videos zu Logarithmen.

1. b)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (2)
Wir formen die Gleichung zunächst so um, dass auf beiden Seiten möglichst einfache Ausdrücke stehen. Dann logarithmieren wir unter Anwendung der bekannten Logarithmengesetze.

1. c)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (3)

1. d)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (4)

1. e)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

 2,5^{kx} = 12 \, \, \, \, k \not=0  2,5^{kx} = 12 \, \, \, \, \vert : 2,5  \Leftrightarrow e^{kx} = 4,8 \, \, \, \, \vert \ln()  \Leftrightarrow kx = \ln(4,8) \, \, \, \, \vert :k  \Leftrightarrow \color{red}{\underline{\underline{x = \frac{1}{k} \ln(4,8)}}} 

1. f)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (5)

1. g)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (6)

1. h)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (7)

1. i)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (8)

2. a)Löse die Gleichung!

Ausführliche Lösung:

 2 \cdot e^{3x} - 6 \cdot e^{x} = 0 \, \, \, \, \vert +6 \cdot e^{x}  \Leftrightarrow 2 \cdot e^{3x} = 6 \cdot e^{x} \, \, \, \, \vert :2  \Leftrightarrow e^{3x} = 3 \cdot e^{x} \, \, \, \, \vert \ln()  \Leftrightarrow 3x = \ln(3) + x \, \, \, \, \vert -x  \Leftrightarrow 2x = \ln(3) \, \, \, \, \vert :2  \Leftrightarrow \color{red}{\underline{\underline{x = \frac{1}{2} \cdot \ln(3)}}} 

2. b)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (9)
Tritt bei den Lösungsschritten ein Widerspruch auf, so hat die Gleichung keine Lösung.

2. c)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (10)
Der Satz vom Nullprodukt wurde angewendet.

2. d)

Lösee die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (11)
Nach dem Satz vom Nullprodukt muss x2 = 0 sein und damit auch x. Denn ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist. Da die e-Funktion für keinen x-Wert Null werden kann, muss also x2 Null sein.

2. e)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (12)
Der Satz vom Nullprodukt wurde angewendet.

2. f)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (13)
Der Satz vom Nullprodukt wurde angewendet.

3. a)Löse die Gleichung!

Ausführliche Lösung:

 e^{2x} - \frac{17}{2}e^{x} + 16 = 0 Substitution: e^{x} = u \Leftrightarrow e^{2x} = u^{2}  \Leftrightarrow u^{2} - \frac{17}{2}u + 16 = 0 quadratische Gleichung \Rightarrow p = - \frac{17}{4} ; \, q=16  D = (\frac{p}{2})^{2}-q = (- \frac{17}{2})^{2} - 16 = \frac{289}{4} - \frac{64}{4} = \frac{225}{4}  \Rightarrow \sqrt{D} = \sqrt{\frac{225}{4}} = \frac{15}{2}  u_{1/2}= - \frac{p}{2} \pm \sqrt{D} u_1 = \frac{17}{2} + \frac{15}{2} = \frac{32}{2} = 16  u_2 = \frac{17}{2} - \frac{15}{2} = \frac{2}{2} = 1  u_1 = 16 \Leftrightarrow e^{x} = 16 \, \, \, \, \vert \ln() \Leftrightarrow \color{red}{\underline{\underline{x_1=\ln(16)}}} u_2 = 1 \Leftrightarrow e^{x}= 1 \, \, \, \, \vert \ln() \Leftrightarrow x_2 = \ln(1) \Leftrightarrow \color{red}{\underline{\underline{x_2 = 0}}} 

3. b)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (14)
Die Multiplikation der Gleichung mit ex vereinfacht den Term. Für u2 gibt es keine Lösung, da u2 negativ und für negative Zahlen kein Logarithmus definiert ist.

3. c)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

e^{-2x} - 10e^{-x} + 9 = 0 \, \, \, \, \vert \cdot e^{2x} \\ \Leftrightarrow 1 - 10e^{x} + 9e^{2x} = 0 \\ \Leftrightarrow 9e^{2x} - 10e^{x} + 1 = 0 \, \, \, \, \vert :9 \\ \Leftrightarrow e^{2x} - \frac{10}{9}e^{x} + \frac{1}{9} = 0
Substitution: e^{x} = u \\ \Leftrightarrow e^{2x} = u^{2} \\ \Leftrightarrow u^{2} - \frac{10}{9}u + \frac{1}{9} =0
Quadratische Gleichung: \Rightarrow p_0 -\frac{10}{9} ; \, q=\frac{1}{9} \\ D = (\frac{p}{2})^{2} - q = (-\frac{5}{9})^{2} - \frac{1}{9} = \frac{25}{81} - \frac{9}{81} = \frac{16}{81} \\ \Rightarrow \sqrt{D} = \sqrt{\frac{16}{81}} = \frac{4}{9} \\ u_{1/2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{D} \\ u_1 = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} = \frac{9}{9} = 1 \\ u_2 = \frac{5}{9} - \frac{4}{9} = \frac{1}{9} \\ u_1 = 1 \Leftrightarrow e^{x} = 1 \, \, \, \, \vert \ln() \\ \Leftrightarrow x = \ln(1) \Leftrightarrow \color{red}{\underline{\underline{x_1 = 0}}} u_2 = \frac{1}{9} \Leftrightarrow e^{x} = \frac{1}{9} \, \, \, \, \vert \ln() \\ \Leftrightarrow x = \ln(\frac{1}{9}) \Leftrightarrow \color{red}{\underline{\underline{x_2 = - \ln(9)}}}

3. d)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (15)
Lösungsweg:
Das Quadrat des Klammerausdrucks wird als Produkt dargestellt. Der Satz vom Nullprodukt wird angewendet. Da beide Klammern identisch sind, ist das Ergebnis als doppelte Nullstelle zu werten.

3. e)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (16)
Lösungsweg:
Zur Lösung der Aufgabe wenden wir den Satz vom Nullprodukt an. Nur der Klammerausdruck kann Null werden.

3. f)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (17)
Die Gleichung hat keine Lösung. Der Wert der e-Funktion vor der Klammer ist für alle x größer Null. Der Klammerausdruck ist negativ, so dass auch das Produkt auf der linken Seite negativ ist. Das steht im Widerspruch zu dem Wert der rechten Seite, der positiv ist.

4. a)Löse die Gleichung!

Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (18)

4. b)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (19)

4. c)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (20)

4. d)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (21)
Der Logarithmus zu einer beliebigen Basis von 1 ist immer Null.

4. e)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (22)

4. f)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (23)

5. a)Löse die Gleichung!

Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (24)

5. b)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (25)
Der Logarithmus zu einer beliebigen Basis von 1 ist immer Null.

5. c)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (26)

5. d)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (27)
Der Satz vom Nullprodukt wird angewendet.

5. e)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (28)
Der Satz vom Nullprodukt wird angewendet. Jede der beiden Klammern wird Null gesetzt. Es gibt zwei unterschiedliche Lösungen.

5. f)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (29)

6. a)Löse die Gleichung!

Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (30)
Der Satz vom Nullprodukt wird angewendet. Da die e-Funktion für keinen x-Wert Null werden kann, muss also der Klammerausdruck Null sein.

6. b)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (31)

6. c)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (32)

6. d)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (33)
Für u2 gibt es keine Lösung, weil für negative Zahlen kein Logarithmus definiert ist.

6. e)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (34)

6. f)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (35)

6. g)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (36)

6. h)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (37)
Wir wenden den Satz vom Nullprodukt an. Da entsprechend der Vorgabe k ungleich Null ist, kann nur der Klammerausdruck Null werden.

6. i)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (38)

7. a)Löse die Gleichung!

Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (39)

7. b)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (40)

7. c)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (41)

7. d)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (42)
Für u2 gibt es keine Lösung, weil für negative Zahlen kein Logarithmus definiert ist.

7. e)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (43)
Für u2 gibt es keine Lösung, weil für negative Zahlen kein Logarithmus definiert ist.

7. f)

Löse die Gleichung!
Ausführliche Lösung:Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (44)

Hier findest du die Aufgaben hierzu.

Und hier die Theorie: Exponentialgleichungen.

Eine große Hilfe bieten die Regeln zum Lösen von Exponentialgleichungen.

Hier kannst du nochmal alles zuLogarithmennachlesen.
Und hier die Playlist aller Videos dazu:📽️ Videos zu Logarithmen.

Hier eine Übersicht über weitere Beiträge zu Gleichungen, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.

Lösungen: Exponentialgleichungen IV, mit e-Funktionen mit komplettem Lösungsweg (2024)

FAQs

Wie löse ich eine e-Funktion auf? ›

Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist die ln-Funktion f-1(x) = ln(x). Den ln nennst du auch natürlichen Logarithmus . Den Logarithmus erhältst du aus der exp Funktion, wenn du e hoch x an der grünen Geraden spiegelst.

Wie löse ich eine Exponentialgleichung? ›

Wie kann ich eine Exponentialgleichung lösen? Eine Exponentialgleichung kannst du mit dem Logarithmus, durch Exponentenvergleich oder durch Zeichnen lösen. Beim Logarithmieren wendest du auf beiden Seiten der Gleichung den Logarithmus an und nutzt dann die Logarithmusgesetze.

Ist e-Funktion das gleiche wie Exponentialfunktion? ›

e-Funktion zusammengefasst

Die e-Funktion hat die Gleichung f(x) = e^x (gesprochen: e hoch x). Ihre Basis ist die Eulersche Zahl e und ihr Exponent ist die Variable x. Die e-Funktion gehört zu den Exponentialfunktionen und wird auch natürliche Exponentialfunktion genannt.

Wie berechnet man die Nullstellen einer e-Funktion? ›

Die e-Funktion hat keine Nullstellen, da eine Potenz niemals Null sein kann. Also gilt stets f(x) = e x ≠ 0. Ihr Graph nähert sich mit kleiner werdendem x immer mehr der x-Achse und es gilt \lim\limits_{x \to -∞} ex = 0. Diese Achse ist also eine gerade Asymptote.

Wann sind Exponentialgleichungen nicht lösbar? ›

Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung bei der die gesuchte Variable mindestens einmal im Exponenten zu finden ist. Wann hat eine Exponentialgleichung keine Lösung? Wenn zum Beispiel beide Seiten der Gleichung widersprüchlich sind. Oder allgemein: Wenn es kein x gibt, was die Gleichung erfüllt.

Wie funktionieren Exponentialgleichungen? ›

Eine Exponentialgleichung beinhaltet typischerweise eine Variable im Exponenten. Die allgemeine Form lautet a x = b , wobei eine positive reelle Zahl ist (außer 1), die Variable, die es zu lösen gilt, und eine positive reelle Zahl.Um eine Exponentialgleichung zu lösen, musst Du nach der Variable auflösen.

Warum hat die e-Funktion keine Nullstellen? ›

Nullstellen e-Funktion und y-Achsenabschnitt

Die e-Funktion besitzt keine Nullstellen, da die x-Achse die waagerechte Asymptote der natürlichen Exponentialfunktion darstellt.

Kann Excel Exponentialfunktion? ›

Excel Exponentialfunktion (EXP) FAQ

Ja. Die Exponentialfunktion wird in der Mathematik oft als e^x dargestellt, wobei „e“ eine Konstante ist (Eulersche Zahl) und „x“ den Exponent darstellt. In Excel kannst du die EXP-Funktion verwenden, um den Wert von e^x zu berechnen, wobei x ein beliebiger Wert ist.

Wie lautet die allgemeine Exponentialfunktion? ›

Die allgemeine Exponentialfunktion lautet f ( x ) = a ⋅ b x . Es kann vorkommen, dass die Funktionsgleichung noch den Parameter d enthält, welcher den Funktionsgraphen in y-Richtung verschiebt.

Hat eine e-Funktion Extrempunkte? ›

Da die e-Funktion keine Extremstellen und Wendepunkte hat, besitzt sie durchgehend dieselbe Monotonie und Krümmung.

Kann die e-Funktion negativ sein? ›

Der Funktionswert einer Exponentialfunktion kann niemals kleiner als 0 sein. Die Basis darf nicht negativ sein und ein “negativer” Exponent für zu keinem negativen Funktionswert (wenn die Basis positiv ist).

Kann eine Exponentialfunktion einen Wendepunkt haben? ›

Eigenschaften bei e-Funktionen

Extrempunkte und Wendepunkte gibt es nur, wenn die e-Funktion mit einer ganzrationalen Funktion verknüpft ist bzw. im Exponent eine ganzrationale Funktion steht, die mindestens Grad 2 besitzt (Beispiel f(x)= ² 0 , 5 ⋅ e − x ² − 1 ,blaue Funktion oben).

Wie leitet man die e-Funktion ab? ›

e-Funktion ableiten - Das Wichtigste
  1. Die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion f ( x ) = a x lautet:
  2. Die Ableitung der reinen e-Funktion f ( x ) = e x lautet: ...
  3. Die Ableitung der e-Funktion mit einem Vorfaktor f ( x ) = b · e x lautet:
  4. Die Ableitung der erweiterten e-Funktion f ( x ) = b · e c x lautet:

Wie löse ich eine Funktion auf? ›

Wie kann ich in Mathe Gleichungen auflösen? Um eine Gleichung aufzulösen, musst du jede Rechnung auf beiden Seiten der Gleichung durchführen. Neben Addition und Subtraktion kann auch eine Multiplikation in der Gleichung vorkommen. Die kannst du auflösen, indem du auf beiden Seiten geteilt rechnest.

Wann fällt eine e-Funktion? ›

Sobald die Basis der Exponentialfunktion zwischen 0 und 1 liegt, fällt der Graph der Funktion. Du kannst Dir merken: Je kleiner b ist, desto steiler verläuft der Graph f(x). Der Graph fällt dabei immer streng monoton.

Wie bekomme ich den Exponenten weg? ›

Das Wurzelziehen ist die Umkehrung zum Potenzieren. Die n-te Wurzel n√b der positiven reellen Zahl b und der natürlichen Zahl n ist die positive Zahl a, für die gilt an=b. Die Berechnung der n-ten Wurzel einer Zahl a heißt Radizieren und ist die Umkehroperation zum Potenzieren.

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Author: Tyson Zemlak

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