Exponentialfunktionen - Mathepedia (2024)

Die Exponentialfunktion zur Basis $a > 0, \, a \neq 1$a>0,a=/​1 ist eine Funktion der Form $x \mapsto a^x$x↦ax. Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen, bei denen die Basis die Variable enthält, befindet sich bei Exponentialfunktionen die Variable im Exponenten; von daher auch die Namensgebung.

Eine spezielle Rolle spielt die Exponentialfunktion $\e^x$ex mit der Basis $\e$e (Eulersche Zahl), sie wird auch mit $\exp (x)$exp(x) bezeichnet.

Unter Verwendung des Logarithmus lässt sich wegen der Identität $a^x = e^{x\cdot\ln a}$ax=ex⋅lna jede Exponentialfunktion auf eine solche zur Basis $\e$e zurückführen, weshalb wir im folgenden das Hauptaugenmerk auf die Exponentialfunktion zur Basis $\e$e legen.

Definition

Die Exponentialfunktion (zur Basis $\e$e) $\exp:\R\longrightarrow\R$exp:R⟶R kann auf den reellen Zahlen auf verschiedene Weise definiert werden. Zwei Möglichkeiten sind:

$\exp(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \over{x^n }{ n!}$exp(x)=n=0∑∞​(n!xn​) (Definition als Potenzreihe, genannt Exponentialreihe)

$\exp(x) = \lim_{n \to \infty} \braceNT{ 1 + \over{x }{ n} }^n$exp(x)=limn→∞​(1+(nx​))n (Definition als Grenzwert einer Folge mit $n \in \N$n∈N).

Konvergenz der Reihe, Stetigkeit

Die Konvergenz der für die Definition der Exponentialfunktion verwendeten Reihe

$\exp(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \over{x^n }{ n!}$exp(x)=n=0∑∞​(n!xn​)

Rechenregeln

Da die Exponentialfunktion die Funktionalgleichung $\exp(x+y)=\exp(x) \cdot \exp(y)$exp(x+y)=exp(x)⋅exp(y) erfüllt, kann man mit ihrer Hilfe das Potenzieren auf reelle und komplexe Exponenten verallgemeinern, indem man definiert:

$a^x := \exp(x\cdot\ln a)$ax:=exp(x⋅lna) bzw. $a^x:=e^{x\cdot\ln a}$ax:=ex⋅lna

für alle $a > 0 \,$a>0 und alle reellen oder komplexen $x \,$x.

$a^0=1 \,$a0=1 und $a^1=a \,$a1=a

$a^{x+y}=a^x \cdot a^y$ax+y=ax⋅ay

$a^{x\cdot y}=(a^{x})^{y}$ax⋅y=(ax)y

$a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}=\braceNT{\dfrac{1}{a}}^x$a−x=ax1​=(a1​)x

$a^x \cdot b^x=(a \cdot b)^x$ax⋅bx=(a⋅b)x

Diese Gesetze gelten für alle positiven reellen $a \,$a und $b \,$b und alle reellen oder komplexen $x$x. Ausdrücke mit Brüchen und Wurzeln können oft mit Hilfe der Exponentialfunktion vereinfacht werden:

$\dfrac{1}{a}=a^{-1}$a1​=a−1

$\sqrtN{q}{a^p}=a^\dfrac{p}{q}$qap​=aqp​

Ableitung: die "natürliche" Bedeutung der Exponentialfunktion

Die große Bedeutung der Exponentialfunktion leitet sich aus der Tatsache ab, dass ihre Ableitung wieder die Exponentialfunktion ergibt:

$\dfrac{\d}{\d x} \exp(x) = \exp(x)$dxd​exp(x)=exp(x)

Wenn man zusätzlich

$\exp(0) = 1 \,$exp(0)=1

fordert, ist die Exponentialfunktion im Reellen sogar die einzige Funktion, die dies leistet. Somit kann man die Exponentialfunktion auch als Lösung dieser Differentialgleichung definieren.

Allgemeiner folgt für $a>0$a>0 aus

$a^x = \exp(x\cdot\ln a)$ax=exp(x⋅lna)

$\dfrac{\d}{\d x} a^{b\cdot x} = b\ln a \cdot a^{b\cdot x}$dxd​ab⋅x=blna⋅ab⋅x

Numerische Berechnungsmöglichkeiten

Als fundamentale Funktion der Analysis wurde viel über Möglichkeiten zur effizienten Berechnung der Exponentialfunktion bis zu einer gewünschten Genauigkeit nachgedacht. Dabei wird stets die Berechnung auf die Berechnung der Exponentialfunktion in einer kleinen Umgebung der Null reduziert und mit dem Anfang der Potenzreihe gearbeitet. In der Analyse ist die durch die Reduktion notwendige Arbeitsgenauigkeit gegen die Anzahl der notwendigen Multiplikationen von Hochpräzisionsdaten abzuwägen.

$e^x = 1 + \sum\limits_{k=1}^N \dfrac{x^k}{k!} + \dfrac{x^{N+1}}{(N+1)!} \, r_N(x)$ex=1+k=1∑N​k!xk​+(N+1)!xN+1​rN​(x) bei $\vert r_N(x) \vert < 2$∣rN​(x)∣<2

für alle $x$x mit $\vert x \vert < 0{,}5 N+1$∣x∣<0,5N+1 führt.

Die einfachste Reduktion benutzt die Identität $\exp(2z) = \exp(z)^2$exp(2z)=exp(z)2 , d.h. zu gegebenem $x$x wird $z := 2^{-K} \cdot x$z:=2−K⋅x bestimmt, wobei $K$K nach den Genauigkeitsbetrachtungen gewählt wird. Damit wird nun, in einer gewissen Arbeitsgenauigkeit, $y_K \approx e^z$yK​≈ez berechnet und $K$K-fach quadriert: $y_{n-1} := y_n^2$yn−1​:=yn2​. $y_0$y0​ wird nun auf die gewünschte Genauigkeit reduziert und als $\exp(x)$exp(x) zurückgegeben.

Effizientere Verfahren setzen voraus, dass $\ln(2)$ln(2), besser zusätzlich $\ln(3)$ln(3) und $\ln(5)$ln(5) (Arnold Schönhage) in beliebiger (nach Spezifikation auftretender) Arbeitsgenauigkeit verfügbar sind. Dann können die Identitäten

$e^x = 2^k \cdot e^{x-k \cdot \ln(2)}$ex=2k⋅ex−k⋅ln(2) oder $e^x = 2^k \cdot 3^l \cdot 5^m e^{x-k \cdot \ln(2)-l \cdot \ln(3)-m \cdot \ln(5)}$ex=2k⋅3l⋅5mex−k⋅ln(2)−l⋅ln(3)−m⋅ln(5)

benutzt werden, um $x$x auf ein $y$y aus dem Intervall $[-0{,}4 \, ; \, 0{,}4]$[−0,4;0,4] oder einem wesentlich kleineren Intervall zu transformieren und damit das aufwendigere Quadrieren zu reduzieren oder ganz zu vermeiden.

Hintergründe und Beweise

Funktionalgleichung

Da $\braceNT{1+\dfrac{x}{n}}^n$(1+nx​)n und $\braceNT{1+\dfrac{y}{n}}^n$(1+ny​)n konvergieren, konvergiert auch deren Produkt

$\braceNT{1+\dfrac{x}{n}}^n \braceNT{1+\dfrac{y}{n}}^n= \braceNT{1+\dfrac{x+y}{n}+\dfrac{xy}{n^2}}^n=\braceNT{1+\dfrac{x+y}{n}}^n\braceNT{1+\dfrac{xy}{n^2+n(x+y)}}^n$(1+nx​)n(1+ny​)n=(1+nx+y​+n2xy​)n=(1+nx+y​)n(1+n2+n(x+y)xy​)n.

$1\ge\braceNT{1+\dfrac{xy}{n^2+n(x+y)}}^n\ge 1+\dfrac{xy}{n+x+y}\to 1$1≥(1+n2+n(x+y)xy​)n≥1+n+x+yxy​→1;

für $xy>0$xy>0 erhält man aus der einfach zu zeigenden Ungleichung $1+u\le \dfrac{1}{1-u}$1+u≤1−u1​ für $u<1$u<1 und ebenfalls der Bernoullischen Ungleichung für hinreichend große $n$n

$1\le \braceNT{1+\dfrac{xy}{n^2+n(x+y)}}^n$1≤(1+n2+n(x+y)xy​)n $\le\dfrac{1}{\braceNT{1-\dfrac{xy}{n^2+n(x+y)}}^n}$≤(1−n2+n(x+y)xy​)n1​ $\le \dfrac{1}{1-\dfrac{xy}{n+x+y}}\to 1$≤1−n+x+yxy​1​→1,

die Exponentialfunktion erfüllt also tatsächlich die Funktionalgleichung $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$exp(x+y)=exp(x)exp(y).

Ungleichungen

Abschätzung nach unten

Für reelle $x$x lässt sich die Exponentialfunktion mit

$\exp(x)> 0 \,$exp(x)>0

nach unten abschätzen. Der Beweis ergibt sich aus der Definition

$\exp(x) = \lim_{n \to \infty} \braceNT{ 1 + \over{x }{ n} }^n$exp(x)=limn→∞​(1+(nx​))n

und der Tatsache, dass $1 + \over{x }{ n}> 0$1+(nx​)>0 für hinreichend große $n \,$n. Da die Folge monoton wachsend ist, ist der Grenzwert daher echt größer Null.

Diese Abschätzung lässt sich zur wichtigen Ungleichung

$\exp(x)\geq 1+x$exp(x)≥1+x

verschärfen. Für $x\leq-1$x≤−1 folgt sie aus $\exp(x)\geq 0$exp(x)≥0, für $x\geq -1$x≥−1 ergibt sich der Beweis beispielsweise, indem man die Bernoullische Ungleichung auf die Definition

$\exp(x) = \lim_{n \to \infty} \braceNT{ 1 + \over{x }{ n} }^n$exp(x)=limn→∞​(1+(nx​))n

Abschätzung nach oben

Aus der einfach zu zeigenden Ungleichung $1+u\le \dfrac{1}{1-u}$1+u≤1−u1​ für $u<1$u<1 und der Bernoullischen Ungleichung erhält man für reelle $x < 1$x<1 und $n$n hinreichend groß eine Abschätzung nach oben:

$\braceNT{ 1 + \over{x }{ n} }^n$(1+(nx​))n $\le \dfrac{1}{\braceNT{ 1 - \over{x }{ n} }^n}$≤(1−(nx​))n1​ $\le \dfrac{1}{1-x}$≤1−x1​,

also

$\exp(x)\le\frac{1}{1-x}$exp(x)≤1−x1​

Ableitung der Exponentialfunktion

Die wichtigste Anwendung dieser beiden Abschätzungen ist die Berechnung der Ableitung der Exponentialfunktion an der Stelle 0:

$1=\lim_{h\to 0}\dfrac{1+h-1}{h}$1=limh→0​h1+h−1​ $\le\lim_{h\to 0}\dfrac{\exp(h)-1}{h}$≤limh→0​hexp(h)−1​ $\le\lim_{h\to 0}\dfrac{\dfrac{1}{1-h}-1}{h}$≤limh→0​h1−h1​−1​ $=\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{1-h}=1$=limh→0​1−h1​=1.

Gemeinsam mit der Funktionalgleichung $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$exp(x+y)=exp(x)exp(y) folgt daraus die Ableitung der Exponentialfunktion für beliebige reelle Zahlen:

$\exp'(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{\exp(x+h)-\exp(x)}{h}$exp′(x)=limh→0​hexp(x+h)−exp(x)​ $=\exp(x)\lim_{h\to 0}\dfrac{\exp(h)-1}{h}=\exp(x)\,$=exp(x)limh→0​hexp(h)−1​=exp(x)

Die beste von allen Sprachen der Welt ist eine künstliche Sprache, eine ziemlich gedrängte Sprache, die Sprache der Mathematik.

N. I. Lobatschewski

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